Влияет ли уголовное прошлое родителя на возможность устройства на работу юристом, прокурором или следователем?

Однозначно - устроиться на работу в прокуратуру или следователем - не будет возможности.

Но применить знания юриспруденции, полученные по результатам высшего образования можно не только в прокуратуре.

Требования, предъявляемые к лицам, назначаемым на должности прокуроров и следователей, условия и порядок приема на службу в органы и учреждения прокуратуры (Статья 40.1 Федерального Закона "О прокуратуре РФ")

2. Лицо не может быть принято на службу в органы и учреждения прокуратуры и находиться на указанной службе, если оно: имеет гражданство иностранного государства; признано решением суда недееспособным или ограниченно дееспособным; лишено решением суда права занимать государственные должности государственной службы в течение определенного срока; имело или имеет судимость; имеет заболевание, которое согласно медицинскому заключению препятствует исполнению им служебных обязанностей; состоит в близком родстве или свойстве (родители, супруги, братья, сестры, дети, а также братья, сестры, родители или дети супругов) с работником органа или учреждения прокуратуры, если их служба связана с непосредственной подчиненностью или подконтрольностью одного из них другому; отказывается от прохождения процедуры оформления допуска к сведениям, составляющим государственную тайну, если исполнение служебных обязанностей по должности, на которую претендует лицо, связано с использованием таких сведений.

Можете.

Федеральным законом "О прокуратуре Российской Федерации" судимость родственников не предусмотрена причиной отказа для назначения на должность прокурора.

Более того, решением ВС РФ от 27 марта 2017 г. N АКПИ 17-46 положения инструкции МВД о возможном отказе в поступлении на службу (учебу) в органы МВД по мотиву судимых родственников - отменены.

Так что и следователем работать можете.