Возможно ли получить государственную квартиру без прописки и с прошлым тюремного заключения?

Оснований нет. Можно получить временное жилье, но без права собственности и то если администрация пойдет Вам навстречу и выделит временное жилье. Собственность при этом оформить не получиться.