Возможно ли совмещение должности уборщицы на полную ставку в двух бюджетных организациях и необходима ли запись в трудовой по месту совмещения?

Да можно, если договориться с работодателями. Одна организация будет по основной платить, а другая по совместительству (не совмещение т.к. организации разные). Нужно в трудовых договорах прописать так, чтобы режим рабочего времени не совпадал. Удачи!

Трудовой кодекс

Статья 66. Трудовая книжка

По желанию работника сведения о работе по совместительству вносятся в трудовую книжку по месту основной работы на основании документа, подтверждающего работу по совместительству.