Возможно ли уйти в отпуск сразу после больничного?

Конечно, в Вашем случае, когда это соответствует графику отпусков, либо спустя шесть месяцев после трудоустройства.

Вывод: после больничного можно взять отпуск.

Отпуск должен предоставляться согласно графику отпусков, утвержденному в организации до начала календарного года. Специально заявление подавать не нужно, наоборот работодатель обязан письменно уведомить работника о предстоящем отпуске за две недели до его начала, выплатить отпускные за три дня до начала отпуска.

Если на больничном находитесь по травме или заболеванию (не по уходу за больным членом семьи), то отпуск продлевается на количество дней, пришедшихся на дни нетрудоспособности.

Ст.123,124 ТК РФ.