Имеет ли право мать оставить 13-летнюю девочку на отца и проживать с любовником?

Если он является ее отцом и вписан в свидетельство о рождении и не лишён либо ограничен в родительских правах, то ребёнок может с ним проживать также как и с матерью. Так что да,она может оставить ее жить с отцом. Не все же матерям растить детей.

Если отец не лишен родительских прав либо не ограничен в них соответствующим решением суда - имеет полное право. Если считаете, что данными действиями нарушаются права ребёнка - обращайтесь в орган опеки.