Исполнение обязанности по содержанию детей не зависит от места проживания родителей. Да Вы вправе взыскать алименты на содержание своего ребёнка. По правилам подсудности Вы можете обратиться в суд по месту Вашего жительства.
Конечно можете. При чем Вы можете при этом обратиться в мировой ссуд как по своему месту жительства, так и по месту регистрации отца ребенка. Госпошлину платить не надо.