Как изменить дату рождения ребенка, если запись не соответствует фактической дате?

Если этому есть доказательства, то можно

Следует подавать в суд заявления в порядке особого производства об установлении юридического факта, указав в заявлении для какой цели это требуется.

Конечно такое возможно сделать в судебном порядке. Следует в суде установить юридический факт. Составьте заявление и подайте в суд.