Введение дополнительного соглашения к трудовому договору о предоставлении больничных дней в отпуске по усмотрению руководства - законно ли это?

Нет, это не законно. Ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен или перенесен на другой срок, определяемый работодателем с учетом пожеланий работника, в случаях: временной нетрудоспособности работника-ст. 124 ТК РФ.

По трудовому кодексу, статьей 124 установлен, что отпуск должен быть продлен или перенесен на другой срок, определяемый работодателем с учетом пожеланий работника если вы находитесь на больничном. Но вы должны официально в поликлинике оформить больничный лист. Такое доп. соглашение считаю незаконным, работодатель не может обойти трудовой кодекс, даже если вы подписали этот допник.