Нельзя, к сожалению ДНР не признанная республика и соответственно нет международный договоров в рамках которых будет осуществлять исполнения решений соответствующих судов республики в России.
Здравствуйте, Ирина!
Если Вы находитесь в Российской Федерации, то Вы имеете право обратиться в российский суд с заявлением о признании судебного решения, выданном в ДНР, законным и подлежащим исполнению в соответствии с действующим законодательством.
Далее уже всё будет зависеть от судебного решения. При выигрыше дела будет создан прецедент.
Советую обратиться за помощью к юристу или адвокату по месту своего нахождения в Российской Федерации.
Нет конечно вам надо тут в РФ подавать иск в суд и получать исполнительный лист и обращаться к приставам и взыскивать алименты