Здравствуйте! Нет, стать наследником квартиры опекун не может.
В пункте 1 статьи 17 ФЗ " Об опеке и попечительстве" сказано, что ни опекуны (попечители), ни опекаемые (подопечные) не имеют никаких прав на имущество друг друга.
Наследниками первой очереди будут сыновья.