КАк мне доказать в суде, что я вовремя подала заявление о наследстве?

Пусть суд запросит подтверждение отправки письма, а так же нотариусу который заверял заявление на принятие наследства.

Ходатайствуйте перед судом о востребовании доказательства, письма которое вы посылали.

вы имеете право на наследство, так как не писали отказ и являетесь недостойным наследником

по запросу суда надо потребовать у нотара копию наследственного дела

Наследниками первой очереди по закону являются дети (независимо, рождены в браке или нет), супруг (действующий) и родители наследодателя. Внуки наследодателя и их потомки наследуют по праву представления своих умерших родителей. Для приобретения наследства наследник должен его принять. Принятие наследства осуществляется подачей по месту открытия наследства нотариусу заявления наследника о принятии наследства. Наследство может быть принято в течение шести месяцев со дня открытия наследства (т.е. смерти). В случае, если этот срок пропущен, вопрос необходимо решать в судебном порядке.