Возможность обжалования решения районного суда при несогласии с решением мирового судьи

Можете. Это будет надзорная жалоба.

Но решение районного суда вступает в силу немедленно.

Если вас не устроит результат апелляции, то вы вправе подать надзорную жалобу в Президиум областного суда.