Работодатель требует переподписать бессрочный трудовой договор с измененными условиями - законное действие или нет?

Это не правомерно.

Здравствуйте, нет, конечно, дата должна быть новой. Изменения в трудовой договор вносятся на основании доп. соглашения

Здравствуйте!

Нет, конечно. Если хочет что-то изменить, пусть заключает дополнительное соглашение с текущей датой.

Вы вправе отказаться от подписания договора в новой редакции. Если работодатель хочет что-то изменить - пусть предложит Вам подписать дополнительное соглашение к уже действующему договору текущей датой. При этом и от подписания доп. соглашения Вы вправе отказаться, т.к. изменение условий возможно только в том случае, если Вы согласны.

Положено бы сделать дополнительное соглашение к тому договору. Или новый. Но смотрите, есть ли смысл спорить, если это незначительное исправление, не ухудшающееся Ваше положение.

Вы можете дату поставить под подписью, экземпляр старого договора у Вас есть. Есть чем подтвердить факт изменения договора в определённый момент.

Вообще в таких случаях подписывают доп. соглашение нынешним числом.