Можно ли подать в суд и требовать выплаты неуплаченной зарплаты, если я продолжаю работать в фирме?

Можете. Более того, невыплата заработной платы является административным правонарушением, предусмотренным ч. 1 ст. 5.27 КоАП РФ. На сумму, подлежащую выплате, начисляются проценты.