«Что делать, если бывший собственник не выполняет договор и не выписывается из купленной квартиры?»

Обращаться в суд и снимать его с регистрационного учета

Добрый день!

Подавайте иск в суд о принудительном выселении.

Оба предыдущих ответа частично неверны. Иск "О признании утратившим право пользования жилым помещением".

Суд не обладает полномочиями снимать граждан с регистрационного учёта, а о принудительном выселении речи быть не может до тех пор, пока бывший собственинк не будет признан утратившим право пользования.