Если ребенок до 18 лет едет в Абхазию хотя бы с одним из родителей, даже если родители не состоят в браке, согласие от второго родителя на выезд ребенка за границу не требуется (Федеральный закон №114 "О порядке выезда из РФ и въезда в РФ», ст. 20), если от него не поступало заявления о несогласии на выезд из России ребенка. Если второй родитель заявит о своем несогласии на выезд несовершеннолетнего ребенка, вопрос о возможности его выезда из России разрешается в судебном порядке (ФЗ №114, ст. 21).
На российско-абхазской границе были случаи, когда сотрудники погранслужбы просили предъявить согласие от второго родителя на выезд ребенка из России. Имейте ввиду, что они не вправе этого требовать. В любом случае есть закон, на который вы можете смело ссылаться. Лучше распечатать его и взять с собой. Если не хотите ни с кем спорить и что-то доказывать, сделайте эту доверенность.
Если фамилии ребенка и родителей разные, то при пересечении границы российские пограничники, как правило, проводят устный опрос. Ребенка спрашивают, как его зовут, сколько ему лет, как зовут родителей, с кем он едет и т.п.