Должен ли выплатить работодатель компенсацию за неотгуленный отпуск, при увольнении по собственному желанию?

да - должны выплатить компенсацию (ст. 140 ТК)

не должен , а обязан выплатить вам компенсацию за неиспользованный отпуск если у Вас имеется стаж работы 6 месяцев после использования отпуска за ранее отработанный период