Моя племянница 14 лет является опекаемой, живет с бабушкой, с которой жить не хочет, может ли она сама выбрать себе опекуна?

Да, может.

Правовое обоснование:

п. 3 ст. 13 Федеральный закон от 24.04.2008 N 48-ФЗ "Об опеке и попечительстве"

Попечитель в отношении несовершеннолетнего гражданина, достигшего возраста четырнадцати лет, может быть назначен органом опеки и попечительства по заявлению такого несовершеннолетнего гражданина с указанием конкретного лица.

[i][/i]