Скажите, как нужно отправить письмо, чтобы доказать в суде факт его отправки?

Да, нежно представить почтовую квитанцию.

Квитанцию с почты об отправлении письма.

Письмо нужно отправить с уведомлением и описью вложения. Квитанцию об отправке и уведомление о вручении предоставите судье.

Ценным письмом с описью вложения