Обязан ли работодатель перенести отпуск работнику, если во время отпуска он взял больничный по уходу за ребенком?

Не перенести а продлить отпуск обязан на кол-во дней по б/листу.

Трудовым кодексом РФ предусмотрено, что ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен или перенесен на другой срок, определяемый работодателем с учетом пожеланий работника при наступлении временной нетрудоспособности работника (ст. 124 ТК РФ). Указанные положения распространяются лишь на самого работника.

В соответствии с п. 40 Порядка выдачи листков нетрудоспособности, утвержденного Приказом Минздравсоцразвития России от 29.06.2011 N 624н "Об утверждении Порядка выдачи листков нетрудоспособности", листок нетрудоспособности по уходу не выдается в период ежегодного оплачиваемого отпуска и отпуска без сохранения заработной платы.