Я являюсь директором закрытого акционерного общества, могу ли я по совместительству работать государственным служащим?

Все зависит от должности на госслужбе.

Нет нельзя, на основании ст.17 Федерального закона от 27.07.2004 N 79-ФЗ "О государственной гражданской службе Российской Федерации"