Может ли банк подать в суд если я произвожу оплату каждый месяц но чуть меньше суммы которая указана в договоре?

может подать , может и не подать - требования могут быть разными а право на обращение в суд всегда есть

Банк обратится в суд в не всякого сомнения, постарайтесь погасить задолженность.

Может. Согласно ст. 811 ГК РФ если договором займа предусмотрено возвращение займа по частям (в рассрочку), то при нарушении заемщиком срока, установленного для возврата очередной части займа, займодавец вправе потребовать досрочного возврата всей оставшейся суммы займа вместе с причитающимися процентами.

Это ожидаемый ход банка.

В вашем случае-это даже к лучшему, т.к. прекратится начисление %, пени и штрафов.