Может ли человек представлять меня в суде (мировой судья) по написанной от руки доверенности,, не заверенной нотариально

Не может, доверенность должна быть заверена нотариально, либо по месту жительства (ЖЭК, ДЕЗ и т.п.), работы, службы, учебы и т.п. Так требует закон.

Может. Но только для этого Вы должны один раз поприсутствовать в судебном заседании и заявить ходатайство о назначении Вашего представителя со всеми процессуальными правами. После этого суд вынесет определение и нотариальная доверенность не потребуется.