Подписывать заявление на увольнение или нет?

Здравствуйте, Вадим.

Заявление на увольнение подписывает директор.

Но. если предусмотрен обходной лист, то согласно внутренней инструкции, его подписываю другие руководители отделов или материально ответственные работники.

Только генеральный директор. Т.н. "обходной лист" вообще не предусмотрен ТК РФ, и право работника на увольнение по собственному желанию в зависимость от подписания/неподписания данного "листа" не ставится. Т.е. в любом случае обязаны уволить и рассчитать в установленном порядке.