Если вы мать ребенка, то с ребенком вы можете перемещаться по стране и жить где угодно без согласия биологического отца. Это ваше право. Что же касается регистрации ребенка, то по закону - регистрируется ребенок по месту регистрации родителей или ОДНОГО из родителей. Просто потом зарегистрируете ребенка на новом месте жительства.

Согласно Семейному кодексу РФ, для изменения места жительства несовершеннолетнего ребёнка требуется согласие обоих родителей, если они обладают родительскими правами. Если отец против переезда и вы не можете достичь соглашения, вам необходимо обратиться в суд с иском об определении места жительства ребёнка. Суд будет учитывать интересы ребёнка, ваши возможности для его воспитания, привязанность ребёнка, а также мнение органов опеки. Для двухлетнего ребёнка суд обычно оставляет с матерью, если нет обстоятельств, свидетельствующих против этого. Если связь с отцом отсутствует, это может быть учтено судом. Рекомендуется собрать доказательства ваших возможностей для переезда (жильё, работа, детский сад) и обратиться в суд по месту жительства отца или ребёнка.