Может ли муж прописать нашу дочку без согласия его матери и каковы наши дальнейшие действия?

Если Ваш муж зарегистрирован в квартире согласия его матери на регистрацию не требуется.

"Правила регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня должностных лиц, ответственных за регистрацию" утверждены Постановлением Правительства РФ от 17.07.1995 N 713

10. Регистрация граждан по месту пребывания в жилых помещениях, не являющихся местом их жительства, осуществляется на срок, определенный по взаимному соглашению:

с нанимателями и всеми совместно проживающими с ними членами их семей, в том числе с временно отсутствующими членами их семей, при условии проживания в домах государственного или муниципального жилого фонда;

12. Регистрация несовершеннолетних детей по месту пребывания родителей (усыновителей, опекунов) производится независимо от согласия лиц, указанных в абзацах втором - четвертом пункта 10 настоящих Правил.

согласия главного квартиросъемщика в данной ситуации не требуется