Регистрация (прописка) по месту жительства (пребывания) в жилом помещении (квартире) возможна только лишь с письменного согласия собственника жилого помещения, который может быть арендодателем, как в отношении взрослого совершеннолетнего арендатора, так и в отношении его несовершеннолетних детей.

если у арендатора есть право пользования квартирой на основании договора аренды, он может использовать квартиру в своих целях, в том числе зарегистрировать свою семью, включая несовершеннолетних детей. Однако важно иметь в виду, что правила могут варьироваться в зависимости от условий договора аренды, а также от согласия арендодателя.

В данном случае нет. Возможно только если у одного из родителей есть регистрация, в т.ч. временная в арендованной квартире.