Возможно работать. Прямого запрета на это в законе нет

Требования, предъявляемые к лицам, назначаемым на должности прокуроров, содержатся в статье 40.1 ФЗ «О прокуратуре РФ», а также в Инструкции о порядке приема на службу (назначения на должность) …, утвержденной приказом Генеральной прокуратуры РФ от 8 июля 2016 г. № 404. Формально запрета в Вашем случае нет, а как будет обстоять дело на практике, она и покажет. Конечно, отказ в приеме на работу в прокуратуру без законных оснований может быть обжалован в суде, однако если суд признает отказ незаконным, надо понимать, как может быть исполнено такое решение и как потом работать.

На практике по разному бывает. От Прокурора зависит.

Все зависит от того, за что он осужден: если за неуплату алиментов - это одно, если за сбыт наркотиков - это другое.

Запрета нет, но негласная установка, к сожалению, есть.

Возможно. Проверят, насколько Вы с отцом поддерживаете отношения - по результатам проверки сделают кадровые выводы при прочих равных условиях.