На момент подачи ходатайства о назначении экспертизы деньги должны быть на депозите.
С ходатайством можете предоставить кандидатуры по экспертным организациям (желательно с подтверждением квалификации и подтверждением готовности провести экспертизу)
Ходатайство заявляется, нужно вопросы там задать соответствующие.
На депозит можете заранее положить и представить доказательство, если не назначат, Вам вернут деньги.
Доказательства необходимости назначения экспертизы, технические все документы.
В депозит можете вносить, когда суд примет решение назначать и скажет вносить.
Если речь о ГПК лично я делаю так: ходатайство; гарантийное письмо от экспертного учреждения; деньги на депозит суда ДО заявления ходатайства.
ГПК РФ Статья 79. Назначение экспертизы