Можно ли написать заявление на увольнение в первый день отпуска для учета этого времени как отработки и последующего удержания отпускных?

Да, можете. Отпускные с Вас могут удержать только в том случае, если вы взяли отпуск "авансом". На пример, за отработанный период времени Вам полагается отпуск продолжительностью 14 дней, а Вы берете 28. Соответственно и отпускные насчитываются на все 28 дней.

Если же Вы берете отпуск той продолжительности, на которую имеете право исходя из отработанного времени - ни каких удержаний быть произведено не может.

Здравствуйте! Конечно Вы имеете полное право написать заявление на увольнение в первый день отпуска и уволиться в период нахождения в отпуске по Вашей инициативе - тоже Ваше право. Вы не рассматривали вариант выхода в отпуск с последующим увольнением? Особенность прекращения трудовых отношений при предоставлении отпуска с последующим увольнением состоит в том, что датой прекращения договора является не последний день работы, а последний день отпуска (ч. 4 ст. 127 ТК РФ). К моменту ухода в отпуск трудовой договор с работником фактически считается расторгнутым (ст. 80 ТК РФ, письмо Роструда от 24.12.2007 N 5277-6-1).

Дата расторжения трудового договора определяется в соответствии с приказом о предоставлении отпуска и в случае временной нетрудоспособности работника не меняется. Работодатель осуществляет все процедуры, связанные с увольнением по указанному основанию, до начала отпуска, а при представлении бывшим работником листка нетрудоспособности оплачивает его (письмо Роструда от 24.12.2007 N 5277-6-1, Определение Конституционного Суда РФ от 25.01.2007 N 131-О-О).