Обязательно ли нужно регистрироваться по месту жительства в мариуполе, если у нас командировка, и ребёнок пошёл в местную школу?

Да, поскольку каждый должен быть зарегистрирован (прописан) там где проживает. Иное порождает неразбериху (раз), запрещено законом (два), влечет наказание (три).

Если прибыли на срок свыше 90 дней - нужно обязательно.

Какое наказание грозит, если не прописаться

Вы,как командировочные,где проживаете?