Просить можете. Требовать - нет. Но вы можете обжаловать решение комиссии в судебном порядке, а по вашему ходатайству суд вправе истребовать это видео, если оно имеет значение для дела.

Заявите ходатайство. Суд решит, удовлетворять его или нет

Здравствуйте, да, вы можете подать заявление в администрацию с просьбой предоставить копию видеозаписи призывной комиссии. Практика признает видеозаписи как допустимое доказательство в случае обжалования административных решений. В соответствии со статьями 8 и 9 Федерального закона от 27.07.2006 № 149-ФЗ «Об информации, информационных технологиях и о защите информации», а также в соответствии с Федеральным законом от 02.05.2006 № 59-ФЗ «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации», вы имеете право запросить предоставить вам копию видеозаписи заседания призывной комиссии для использования в качестве доказательства при обжаловании решения комиссии. Подготовьте заявление в двух экземплярах. Один экземпляр подайте в канцелярию администрации, а на втором попросите поставить отметку о приеме (дата, номер входящего документа, ФИО принявшего сотрудника).

Ожидайте ответ в установленные законом сроки (обычно до 30 дней). Если ответа не будет, вы можете подать жалобу в вышестоящие инстанции или прокуратуру.