Жена подала в суд на меня о установлении отцовства и взыскании алиментов - что делать, если суд удовлетворил иск?

Вы можете сделать это самостоятельно.

Надо получить свой экземпляр решения суда и обратиться в органы ЗАГС

Вы сожитель видимо, а не муж всё же. Это раз. Либо не в браке были с матерью ребёнка на момент его рождения.

Вам надо получить в суде решение суда с отметкой о вступлении его в силу и предъявить его в органы ЗАГС и т.д. Это два

Артур, обращайтесь с заявлением и решением суда в орган ЗАГСа.

С судебным решением вступившем в силу в ЗАГС, платите госпошлину и получаете свидетельство о рождении ребёнка с соответствующей записью в нём.