Прописка (регистрация) не породила у вашей бабушки права собственности.Подать заявление и нотариусу в суд -может ,но удовлетворения иск исходя из вводных данных вашего вопроса- нет.
Наследование или по завещанию, или по закону. Мама на свою квартиру может оставить завещание. Если завещания нет, то наследовать квартиру будут наследники первой очереди - ее мать (бабушка), ее дети в равных долях. Брат мамы является наследником второй очереди и наследовать может только при отсутствии наследников первой очереди. Надо точно знать, в чьей собственности квартира, что определяется не регистрацией по месту жительства (пропиской), а государственной регистрацией в ЕГРН
После смерти наследодателя наследуют его имущество наследники первой очереди его дети родители и супруг братья и сёстры на созидателя наследники второй очереди А потому не наследуют, при наличии наследников в первой очередь