ДТП в частном такси - получение травм и вопрос о возможности подачи иска водителю

Конечно имеет право. Во первых о том что вы были не пристегнуты нет документов (слова это не доказательство)

Иск подавайте обязательно. Во первых надо еще обратитсья в страховую компанию водителя, т.к его ответственность застрахована за возмещением, в случае если страховая отказывает вам необходимо будет обращаться в суд см. Гражданский кодекс ст. 15, 150, 151, 1064, 1072, 1079 (авто считается источником повышенной опасности), а так же по заработку см. ст. 1084-1094, моральный вред 1099, 1100, 1101.

Конечно имеет - если Москва - готов помочь.

Есть полный смысл предъявить иск о возмещении вреда здоровью и СК и водителю, т.к. они обязаны возместить весь вред причиненный Вам. Ремень здесь не причем, т.к. водитель не имеет права перевозить пассажиров не пристегнутых.