Попробуйте составить заявление в ЗАГС, нотариально заверив свою подпись, приложив нотариально заверенное свидетельство о браке, все это перевести на грузинский язык и обратиться в консульство Грузии в РФ.
Либо позвоните в ЗАГС и спросите у них как лучше это сделать.