Расхождение в данных паспорта у Бабушки - как оформить наследство в подобной ситуации?

Решайте вопрос в судебном порядке ст 264 ГПК РФ.

Надо подать иск о признании права собственности в порядке наследования

Нужно разбираться, выяснять причины. Скорее всего придется обращааться в суд с заявлением об установлении юридического факта.

Для начала нужно выяснить все моменты. Затем скорей всего нужно через суд подавать заявление об установлении юридического факта, а затем через суд (если прошел срок вступления в наследство) восстанавливать срок вступления в наследство. Для начала вам нужно собрать необходимый пакет документов (свид-во о рождении и т.д.)