Возможно ли это сделать, не приезжая в Иркутск?

Вряд ли.

Как прописаться в другой город, не выезжая туда. Самый простой вариант — воспользоваться сайтом госуслуг. На нем необходимо выбрать пункт «регистрация по месту жительства», там указать новый адрес прописки и старое место жительства, контактную информацию и телефон.