Естественно останутся.

Т.е. можно жить и не оплачивать коммуналку.

Какая справка необходима, чтобы доказать что не проживаю в квартире.

Определите через соглашение или через суд оплату ЖКУ и обязательных платежей за свои доли.

Оплачивать за ЖКУ вы обязаны согласно ЖК РФ. У вас общий счёт и только отдавать под расписку часть денег держателю счёта, чтобы он оплачивал. Однако не факт, что он будет это делать.

Останутся.

Если Вы собственник 1/3 доли квартиры, то вы вправе сняться с регистрационного учета (выписаться) из нее, а потом вновь прописаться.

Вы как собственник доли может выехать из квартиры, а потом вновь вселиться в нее.

Есть плата, которую собственник доли обязан платить независимо от прописки и фактического проживания, а есть платы за коммунальные услуги, которые оплачиваются по показаниям счетчиков (электроэнергия, газ, а если установлены еще счетчики, то тогда - горячая и холодная вода).

Собственник доли и адвокат могут подать в суд иск об определении порядка пользования жилым помещением оплаты жилищных и коммунальных услуг каждым сособственником, обратиться к поставщикам услуг за заключении отдельного договора (по аналогии - раньше просили разделить 1 лицевой счет на 2).

Если вы выехали из квартиры, где у вас 1/3 доля и переехали в свою вторую квартиру и там оплачиваете 100% коммунальных услуг или проживаете по договору аренды (найма) в другой квартире, в котором прописана ваша обязанность оплачивать комуслуги (а лучше - если там вы еще и временно прописаны), у вас есть чеки банка об оплате комуслуг, будут объяснения 2-х свидетелей, то вам не о чем волноваться. Справку о фактическом проживании в другой квартире вам может дать председатель ТСЖ (товарищества собственников жилья, если оно создано в доме или управдом) представитель управляющей компании или комиссия жильцов дома (с печатью), собственник этой квартиры и иногда - участковый уполномоченный полиции.