Если вы заболели в отпуске, вы все равно можете открыть больничный. Закон это разрешает: ваш отпуск автоматически продлевается на те дни, на которые вам выдали больничный. Абз. 2 ч. 1 ст. 124 ТК РФ. Это работает, только если вы находились в ежегодном оплачиваемом отпуске, а не в отпуске за свой счет. Также это не распространяется на учебный отпуск или на ситуацию, когда работник сразу после отпуска увольняется.

Екатерина, нужно "открывать больничный", т.к. отпуск можете продлить на дни нетрудоспособности (ст. 124 ТК РФ).

Конечно необходимо.

Затем, в силу Трудового Кодекса - вам по заявлению продлят отпуск на количество дней которые вы не отгуляли. Так как вы фактически не отдыхали - а болели.