Все верно понимаете.

Здравствуйте. Можете, главное нигде не указывайте, что к задолженности претензий нет.

Вы можете подать приставу заявление через личный кабинет Госуслуг о прекращении производства и направлении вам оригинала исполнительного документа. А предъявить на исполнение вы можете до достижения ребенком 21 года, а долг будет рассчитан только за 3 предыдущих года с новой даты предъявления

Методические рекомендации по порядку исполнения требований исполнительных документов о взыскании алиментов (утв. Федеральной службой судебных приставов от 19 июня 2012 г. № 01-16)

2.3. Сроки предъявления исполнительных документов о взыскании алиментов к исполнению

Исполнительные документы о взыскании алиментов на содержание несовершеннолетних детей, нетрудоспособных совершеннолетних детей, нетрудоспособных родителей, супруга (супруги) и других членов семьи (далее - исполнительные документы о взыскании алиментов) могут быть предъявлены к исполнению в течение всего срока, на который присуждены платежи (исполнительные документы о взыскании алиментов на содержание несовершеннолетних детей - до достижения ребенком 18-летнего возраста), а также в течение трех лет после окончания этого срока (ч. 4 ст. 21 Закона).