Да, обязаны.

Если работодатель только говорит, зависит от него

Нет, если Вы находитесь в отпуске или болеете. 2 недели - это срок для заблаговременного предупреждения, а не срок отработки по ст. 80 ТК РФ. Но тут главное - чтобы заявление на увольнение было составлено правильно

При увольнении по собственному желанию обязаны предупредить работодателя о своем желании уволиться за две недели

Да обязаны.

Мира, обязаны предупредить работодателя. Статья 80 ТК РФ Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию). Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

После подачи заявления у вас 14 календарных дней для работы.