Нет. Жена сама должна иметь разрешение в РФ для оформления регистрации.

Вопросы получения патента на работу в РФ, продления временной прописки, на основании этих документов регулируется ФЗ №115.

Да, можете попытаться продлить срок временного пребывания. Для продления срока временного пребывания иностранный гражданин или принимающая сторона не позднее семи рабочих дней до окончания срока временного пребывания подают непосредственно в территориальный орган ФМС России по месту постановки иностранного гражданина на учет по месту пребывания заявление о продлении срока временного пребывания или ходатайство о продлении срока временного пребывания* (6) в произвольной форме.

При подаче заявления иностранный гражданин или принимающая сторона информируются о необходимости обращения в территориальный орган ФМС России по истечении семи рабочих дней для получения результата рассмотрения заявления.

4. В заявлении, помимо основания для продления срока пребывания, указываются следующие сведения об иностранном гражданине:

а) фамилия, имя, отчество;

б) дата рождения;

в) гражданство (подданство);

г) наименование и реквизиты (серия, номер, дата и место выдачи, срок действия) документа, удостоверяющего личность и признаваемого Российской Федерацией в этом качестве* (7);

д) адрес места пребывания.

(Постановление Правительства РФ № 655).