Да, можно сделать, Юлия.

Да, можно сделать установление отцовства, даже если у матери ребенка отсутствует паспорт и имеется только свидетельство о рождении. Для этого необходимо обратиться в суд с заявлением об установлении отцовства и предоставить соответствующие документы - свидетельство о рождении ребенка, а также документы, позволяющие заявителю доказать свою отцовскую принадлежность (например, свидетельство о браке с матерью ребенка).

Обращайтесь в суд с соответствующим заявлением

Через суд устанавливайте отцовство и через ЗАГС получите свидетельство о рождении с внесением в него данных об отце ребёнка.

Паспорт потребуется хоть для добровольной регистрации ребёнка, хоть для обращения в суд.