Вопросы прописки ребенка и его отца - какие варианты возможны?

В соц найме с согласием всех прописанных там лиц.

Серафима, зарегистрировать ребенка до 14 лет можно только по месту проживания его родителей или одного из них. Поэтому можно сначала прописать отца ребенка, а потом ребенка, если в Свидетельстве о рождении ребенка вписан отец. В браке с отцом ребенка быть не обязательно.

На основании ст. 20 ГК РФ "Место жительства гражданина", местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов. Таким образом, Вы можете зарегистрировать ребёнка по месту регистрации одного из родителей. Если отец ребёнка (при условии, что он записан, как отец) будет зарегистрирован по месту жительства Ваших родитей, ребёнка тоже можно будет зарегистрировать по регистрации отца, получив Ваше согласие, даже если брак с отцом ребёнка не зарегистрирован.