Как правильно написать письмо потерпевшему при отбывании наказания по ст. 111 ч. 4?

Пишите в произвольной форме и укажите все основные моменты, которые хотите изложить. Здесь нет установленной законом формы - это не процессуальный документ.

Вы не написали - в связи с каким обстоятельствами Вы подготавливаете это письмо и какую конечную цель преследуете, а это важно для конечной редакции письма. Но, в любом случае, используются формулировки "сожалею о случившемся", "приношу свои искренние извинения", "Мне очень жаль", "окажу необходимую материальную поддержку", "прошу не держать на меня зла", "случившееся явилось стечением обстоятельств" и т.п.

Здравствуйте, пишите что извиняетесь и просите прощения. Отправляйте через администрацию исправительного учреждения

В свободной форме. Но только без угроз, оскорблений, издевательств и т.п.