Нет конечно же не могут, пишите объяснительную на имя руководства!
К сожалению, у работодателя есть такое право. В соответствии со ст. 259 ТК РФ запрет на направление в служебную командировку без письменного согласия распространяется только на женщин, имеющих детей в возрасте до трех лет либо родителю, имеющему ребенка в возрасте до четырнадцати лет, в случае, если другой родитель работает вахтовым методом.
Законодательство - никак в таком случае не ограничивает работодателя в направлении в командировки, ограничения могут лишь трудовом или колдоговоре быть.
В любом случае, думаю, что если в случае если кто-то из вас откажется (письменно объяснив причину) от командировки, и будет применены со стороны работодателя меры дисциплинарное взыскания, если дело дойдет до суда, то суд может признать причину отказа от исполнения служебных обязанностей в вашем случае уважительной.