Сказали что можно закончить 9 класс дома или заочно по письменному заявлению, а писать то где и кому?

В образовательное учреждение по вашему месту жительства. Для этого необходимо заключение медорганизации по ребенку и заявление родителей. Если в школе возникнут проблемы, обратитесь за разъяснениями в отдел образования.