Могут ли мобилизовать моего сына, если он не служил, признан ограниченно годным из-за тревожного расстройства?

Если имеет соответствующий ВУС, опыт, состояние здоровья в настоящий момент признают хорошим, то могут.

В рамках частичной мобилизаци нет, не могут. Он там не нужен. При объявлении полной мобилизации могут.