«Может ли военный пенсионер получить лечение в госпиталях Бурденко или ВМА из-за регистрации с офицером РФ?»

Нет не может, так как для этого он в судебном порядке должен быть признан членом вашей семьи и в обязательном порядке вписан в личное дело как член семьи. Соберите все чеки и медицинские справки за его лечение и обращайтесь в суд. Для положительного решения вопроса в суде должно быть установлено, что допустим пенсия, которую получает отец, с учетом растрат на лекартсва и медицинскую помощь, является меньше прожиточного минимума и ваша финансовая помощь является для него основным источником существования, то есть в судебном порядке нужно признать, что ваш отец находится у вас на иждивении. В данном случае одинаковая прописка в суде будет большим плюсом для вас.

Если ваш отец при выслуге в 22 года был уволен на пенсию по предельному возрасту, по состоянию здоровья или по ОШМ, либо если у него есть ветеранское удостоверение, то у него есть самостоятельное право на получение лечения (как военный пенсионер или ветеран). В этом случае для решения вопроса ему нужно обратиться в территориальный госпиталь, а они уже там ему разъяснят в каких учреждениях военных он может проходить лечение.